Matemática discreta Ejemplos

$3 y - 2 y + 4 z = 11$ , $2 x - 4 y + 5 z = 4$ , $x + 2 y - z = 10$

Paso 1

Resta $4 z$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 11 - 4 z$

$2 x - 4 y + 5 z = 4$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $11 - 4 z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $2 x - 4 y + 5 z = 4$ por $11 - 4 z$ .

$2 x - 4 (11 - 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 x - 4 (11 - 4 z) + 5 z$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 4 \cdot 11 - 4 (- 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$2 x - 44 - 4 (- 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 x - 44 + 16 z + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 16 z + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2.2.1.2

Suma $16 z$ y $5 z$ .

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x + 2 y - z = 10$ por $11 - 4 z$ .

$x + 2 (11 - 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $x + 2 (11 - 4 z) - z$ .

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Paso 2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 \cdot 11 + 2 (- 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 2.4.1.1.2

Multiplica $2$ por $11$ .

$x + 22 + 2 (- 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 2.4.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x + 22 - 8 z - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 8 z - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 2.4.1.2

Resta $z$ de $- 8 z$ .

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $22$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 9 z = 10 - 22$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 3.2

Suma $9 z$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10 - 22 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 3.3

Resta $22$ de $10$ .

$x = - 12 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x = - 12 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 12 + 9 z$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x - 44 + 21 z = 4$ por $- 12 + 9 z$ .

$2 (- 12 + 9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 (- 12 + 9 z) - 44 + 21 z$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot - 12 + 2 (9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$- 24 + 2 (9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $9$ por $2$ .

$- 24 + 18 z - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$- 24 + 18 z - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1.2.1

Resta $44$ de $- 24$ .

$18 z - 68 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $18 z$ y $21 z$ .

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5

Resuelve $z$ en $39 z - 68 = 4$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $68$ a ambos lados de la ecuación.

$39 z = 4 + 68$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.1.2

Suma $4$ y $68$ .

$39 z = 72$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z = 72$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2

Divide cada término en $39 z = 72$ por $39$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $39 z = 72$ por $39$ .

$\frac{39 z}{39} = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $39$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{39 z}{39} = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $72$ y $39$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$z = \frac{3 (24)}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $39$ .

$z = \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$z = \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $z$ por $\frac{24}{13}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = - 12 + 9 z$ por $\frac{24}{13}$ .

$x = - 12 + 9 (\frac{24}{13})$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 12 + 9 (\frac{24}{13})$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $9 (\frac{24}{13})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Combina $9$ y $\frac{24}{13}$ .

$x = - 12 + \frac{9 \cdot 24}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $9$ por $24$ .

$x = - 12 + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = - 12 + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$x = - 12 \cdot \frac{13}{13} + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.3

Combina $- 12$ y $\frac{13}{13}$ .

$x = \frac{- 12 \cdot 13}{13} + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 12 \cdot 13 + 216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $- 12$ por $13$ .

$x = \frac{- 156 + 216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.2.1.5.2

Suma $- 156$ y $216$ .

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $y = 11 - 4 z$ por $\frac{24}{13}$ .

$y = 11 - 4 (\frac{24}{13})$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.1

Simplifica $11 - 4 (\frac{24}{13})$ .

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Paso 6.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1.1

Multiplica $- 4 (\frac{24}{13})$ .

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Paso 6.4.1.1.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{24}{13}$ .

$y = 11 + \frac{- 4 \cdot 24}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.1.1.2

Multiplica $- 4$ por $24$ .

$y = 11 + \frac{- 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 + \frac{- 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 11 - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.2

Para escribir $11$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$y = 11 \cdot \frac{13}{13} - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.3

Combina $11$ y $\frac{13}{13}$ .

$y = \frac{11 \cdot 13}{13} - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{11 \cdot 13 - 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.5.1

Multiplica $11$ por $13$ .

$y = \frac{143 - 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 6.4.1.5.2

Resta $96$ de $143$ .

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{60}{13}, \frac{47}{13}, \frac{24}{13})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{60}{13}, \frac{47}{13}, \frac{24}{13})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{60}{13}, y = \frac{47}{13}, z = \frac{24}{13}$